由于内容较多,需要断成几篇进行整理。紧随着上一篇,这一次主要总结的是导数和积分的内容。这里技巧多,公式也多,特别是积分部分,需要把基本的公式记住,才能去做好那些比较巧的题目

# 六. 导数与微分

# 1. 导数的定义

$f^{'}(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0 }\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$,也可记作$y^{'}|_{x=x_{0}},\frac{dy}{dx}|_{x=x_{0}}$或$\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}}$

# 2. 微分的定义

若$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$,则$dy = A \Delta x$.

# 3. 可导、可微与连续三者之间的关系

$f(x)$在$x_{0}$可导$\Leftrightarrow f(x)$在$x_{0}$可微$\Rightarrow f(x)$在$x_{0}$连续.

# 4. 导数的计算

# (1). 基本初等函数的导数公式

$(tanx)^{'} = sec^{2}x$
$(cotx)^{'} = -csc^{2}x$
$(secx)^{'} = secxtanx$
$(cscx)^{'} = -cscxcotx$
$(a^{x})^{'} = a^{x}lna$
$(log_{a}x)^{'} = \frac{1}{xlna}$
$(arcsinx)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arccosx)^{'} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arctanx)^{'} = \frac{1}{1+x^{2}}$
$(arccotx)^{'} = -\frac{1}{1+x^{2}}$

# (2). 函数的和、差、积、商的求导法则

  设$u=u(x),v=v(x)$都可导,则
$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$, $(Cu)^{'} = Cu^{'}$(C是常数)
$(uv)^{'} = u^{'}v+uv^{'}$, $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}(v \neq 0)$

# (3). 反函数的求导法则

  设$x=f(y)$在区间$I_{y}$内单调、可导且$f^{'}(y) \neq 0$,则它的反函数$y=f^{-1}(x)$在区间$I_{x}=f(I_{y})$内也可导,且$[f^{-1}(x)]^{'}=\frac{1}{f^{'}(y)}$,或$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}$.

# (4). 复合函数的求导法则

  设$y=f(u),u=g(x)$,且$f(u)$及$g(x)$都可导,则复合函数$y=f(g(x))$的导数为
  $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$或$y^{'}(x) = f^{'}(u) \cdot g^{'}(x)$.

# 5. 高阶求导公式

$$①(a^{x})^{(n)} = a^{x}(lna)^{n}(a>0) \quad (e^{x})^{(n)} = e^{x};$$ $$②(sinkx)^{(n)} = k^{n}sin(\frac{n \pi}{2}+kx);$$ $$③(coskx)^{(n)} = k^{n}cos(\frac{n \pi}{2}+kx);$$ $$④[ln(1+x)]^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}};$$ $$⑤(x^{m})^{(n)} = m(m-1)\cdots \cdots (m-n+1)x^{m-n};$$ ⑥莱布尼茨(Leibniz)公式:若$u(x)$,$v(x)$均n阶可导,则 $$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}.$$


# 七. 中值定理

# 1. 罗尔(Rolle)定理

  若$y=f(x)$满足以下条件

①在$[a,b]$上连续;
②在$(a,b)$内可导;
③$f(b) = f(a)$,则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$,使得$f^{'}(\xi)=0$.

# 2. 拉格朗日(Lagrange)中值定理

  若$y=f(x)$满足以下条件

①在$[a,b]$上连续;
②在$(a,b)$内可导,则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$,使得
    $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(\xi)$
  注:$\xi \in (a,b)$,$\xi$也可表示为$\xi=a+\theta(b-a)(0 < \theta < 1)$.若$\xi \in (0,x)$,则$\xi = \theta (x)\cdot x(0 < \theta(x) < 1)$.

# 3. 柯西(Cauchy)定理

  若$f(x)$,$g(x)$满足以下条件:

①在$[a,b]$上连续
②在$(a,b)$内可导
③$g^{'}(x) \neq 0$
则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$,使得    $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}.$$

# 4. 洛必达法则

设$x \to x_{0}$($x \to \infty$,或单侧极限)时,

①$f(x)$与$g(x)$均为无穷小量(或无穷大量);
②在$x_{0}$的某去心邻域内(或$|x| > N$),$f^{'}(x)$与$g^{'}(x)$都存在且$g^{'}(x)\neq 0$;
③$\lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$或$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$存在(或为无穷大),则$\lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$或$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$.

  注:求$1^{\infty}$,$0^{0}$,$\infty^{0}$这三种类型的极限,可引入对数先化为"$0 \cdot \infty$"型的极限,再化为"$\frac{0}{0}$"型或"$\frac{\infty}{\infty}$"型的极限
  例如:①$$limf(x)^{g(x)}=e^{limg(x)lnf(x)} \quad ( \lim g(x)lnf(x)是 " 0 \cdot \infty " 型的极限);$$   ②对于"$1^{\infty}$"型,有$$limf(x)^{g(x)}=e^{limg(x)lnf(x)}=e^{limg(x)[f(x)-1]}.$$

# 5. 泰勒(Taylor)定理

# (1). 泰勒定理

设$f(x)$在含有$x_{0}$的某个开区间$I$内有直到$(n+1)$阶导数,则对任意$x \in I$,有  $$\begin{align} f(x) &= f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f^{"}(x_{0})}{2!}\cdot(x-x_{0})^{2}+ \\ & \cdots +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x), \end{align}$$ 其中$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}(\xi$在$x_{0}$与$x$之间).
上式称为$f(x)$在$x_{0}$处带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式.(ps:证明题)
  若$R_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})$,则称为$f(x)$在$x_{0}$处带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式(ps:极限计算题)

# (2). 麦克劳林公式

设$f(x)$在含$x=0$的区间$I$上有$(n+1)$阶导数,则   $$\begin{align} f(x) &= f(0) + f^{'}(0)x+ \frac{f^{"}(0)}{2!}x^{2} + \cdots \\ & + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}(\xi在0与x之间) \end{align}$$ 称为$f(x)$的n阶麦克劳林公式

# (3). 一些初等函数的麦克劳林公式

$$\begin{align} e^{x} &= 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots \\ &+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}. \end{align}$$ $$\begin{align} sinx &= x - \frac{1}{3!}x^{3}+\cdots+ \\ & \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}x^{2k-1}+(-1)^{k}\frac{cos\theta x}{(2k+1)!}x^{2k+1}. \end{align}$$ $$\begin{align} cosx &= 1-\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k} \\ & +(-1)^{k+1}\cdot \frac{cos\theta x}{(2k+2)!}x^{2k+2}. \end{align}$$ $$\begin{align} (1+x)^{m} &= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{m(m-1)\cdots (m-k+1)}{k!}x^{k}+ \\ & \frac{m(m-1)\cdots (m-k)}{(k+1)!}(1+\theta x)^{m-k-1}x^{k+1}. \end{align} $$ 以上公式中$0 < \theta < 1 .$$

# (4). 四个中值定理之间的关系

罗尔定理$\rightleftharpoons $拉格朗日定理($\rightharpoonup $推广, $\leftharpoonup$为当$f(a)=f(b)$时的特例)
拉格朗日定理$\rightleftharpoons $柯西定理($\rightharpoonup $推广, $\leftharpoonup $为当$g(x)=x$时的特例)
拉格朗日定理$\rightleftharpoons $泰勒定理($\rightharpoonup $推广, $\leftharpoonup $为当$n=0$时的特例)


# 八. 函数单调性与凹凸性

# 1. 函数单调性与极值

定义1 设$f(x)$在$x_{0}$的邻域内有定义,那么对$x_{0}$某空心邻域内的任意x,
  若$f(x) < f(x_{0})$,则称$x_{0}$是$f(x)$的极大值点;
  若$f(x) > f(x_{0})$,则称$x_{0}$是$f(x)$的极小值点.
定义2 若$f^{'}(x_{0}) = 0$,则$x_{0}$是$f(x)$的驻点.
定理1(第一充分判别定理) 设连续函数在$x_{0}$的去心邻域内可导,若$x \in (x_{0}-\delta,x_{0})$时,$f^{'}(x)>0(<0)$;$x \in (x_{0}, x_{0}+\delta)$时,$f^{'}(x)<0(>0)$,则$f(x)$在$x_{0}$处取得极大(小)值(点$x = x_{0}$可以是$f(x)$的不可导点).
定理2(第二充分判别定理) 设$f^{'}(x_{0})=0$,$f(x)$在$x_{0}$处二阶可导,当$f^{"}(x_{0})<0$时,$f(x_{0})$为极大值;当$f^{"}(x_{0})>0$时,$f(x_{0})$为极小值.
推论 $$设 f^{'}(x_{0}) = f^{"}(x_{0}) = ... = f^{(n-1)}(x_{0}) = 0,f^{(n)}(x_{0}) \neq 0(n = 1,2,3,...),$$ ①当n为偶数时,若$f^{(n)}(x_{0})<0$,则$f(x_{0})$是$f(x)$的极大值;若$f^{(n)}(x_{0})>0$,则$f(x_{0})$是$f(x)$的极小值.
②当n为奇数时,$f(x_{0})$不是$f(x)$的极值.

# 2. 函数的凹凸性与拐点

定义1 对于可导函数$f(x)$的图形:
①若在区间$[a,b]$中,$f(x)$都位于它每一点切线的上侧,即$f(x+\Delta x) > f(x) + f^{'}(x)\cdot \Delta x$,则称曲线$f(x)$在$[a,b]$中是(向上)凹的.
②若在区间$[a,b]$中,$f(x)$都位于它每一点切线的下侧,即$f(x+\Delta x) < f(x) + f^{'}(x)\cdot \Delta x$,则称曲线$f(x)$在$[a,b]$中是(向上)凸的.
定理1 若在$[a,b]$中$f^{"}(x)>0$,则曲线$f(x)$在$[a,b]$中是凹的;若在$[a,b]$中$f^{"}(x)<0$,则曲线$f(x)$在$[a,b]$中是凸的.
定义2 设曲线$y=f(x)$连续且处处有切线,则其凹与凸的分界点称为此曲线的拐点.
定理2 设连续函数$f(x)$在$x_{0}$的去心邻域内二阶可导,则
 ①若$f^{"}(x)$在$x_{0}$的左、右邻域内异号,则点$(x_{0},f(x_{0}))$是$y=f(x)$的拐点;
 ②若$f^{"}(x)$在$x_{0}$的左、右邻域内都为正(或负),则$y=f(x)$在$x_{0}$的邻域内凹(凸).
定理3 设$f(x)$在$x_{0}$处三阶可导,且$f^{"}(x_{0}) = 0,f^{(3)}(x_{0}) \neq 0$,则点$(x_{0},f(x_{0}))$是$y=f(x)$的拐点.
推论 设$f(x)$在$x_{0}$处n阶可导,且$$f^{"}(x_{0}) = f^{(3)}(x_{0}) = ... = f^{(n-1)}(x_{0}) = 0, f^{(n)}(x_{0}) \neq 0 (n = 3,4,...),$$ ①当n为奇数时,$(x_{0},f(x_{0}))$是$y=f(x)$的拐点;
②当n为偶数时,$(x_{0},f(x_{0}))$不是$y=f(x)$的拐点.


# 九. 渐近线与曲率

# 1. 渐近线

定义  如果存在直线$L$:$y=kx+b$,使得当$x \to \infty $(或$x \to +\infty, x \to -\infty$)时,曲线$y=f(x)$上的动点$M(x,y)$到直线L的距离$d(M,L) \to 0$,则称L为曲线$y=f(x)$的渐近线.
斜渐近线 若$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k \neq 0$,$b = \lim\limits_{x \to \infty}[f(x)-kx]$,则$y=kx+b$是$y=f(x)$的斜渐近线.
水平渐近线 若$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = b$,则$y=b$是$y=f(x)$的水平渐近线.
垂直渐近线 若$\lim\limits_{x \to x_{0}} f(x) = \infty$,则$x=x_{0}$是$y=f(x)$的垂直渐近线.

# 2. 曲率

弧微分公式 $ds= \sqrt{1+f^{'2}(x)}dx$
曲率 曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率 $K = \frac{|y^{"}|}{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}$.当曲线由参数方程$\begin{cases} & x = \varphi (t) \\ & y = \psi (t) \end{cases}$给出时   $$K = \frac{|\varphi^{'}(t) \psi^{"}(t)-\varphi^{"}(t) \psi^{'}(t)|}{[\varphi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)]^{\frac{3}{2}}}$$ 曲率半径 $R = \frac{1}{K}(K \neq 0)$.


# 十. 不定积分

# 1. 不定积分的基本性质

$[\int f(x) dx]^{'} = f(x)$,$d\int f(x) dx = f(x)dx$.
$\int f^{'}(x)dx = \int df(x) = f(x) + C$.
$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ ($k \neq 0$为常数).
$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$.

# 2. 基本积分公式

$$\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C.$$ $$\int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{lna} + C.$$ $$\int sec^{2}x dx = \int \frac{1}{cos^{2}x}dx = tanx + C.$$ $$\int csc^{2}x dx = \int \frac{1}{sin^{2}x}dx = -cotx + C.$$ $$\int secxtanx dx = secx + C. $$ $$\int cscxcotx dx = -cscx + C. $$ $$\int secxdx = \int \frac{sec^{2}x+tanxsecx}{secx+tanx}dx = ln|secx + tanx| +C. $$ $$\int cscxdx = \int \frac{csc^{2}x-cscxcotx}{cscx-cotx}dx = ln|cscx - cotx| +C. $$ $$\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx = \int \frac{\frac{1}{a^{2}}}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a}+C. $$ $$\int \frac{1}{1+x^{2}}dx = arctanx + C. $$ $$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx= \int \frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}} dx = arcsin\frac{x}{a} +C .$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = arcsinx + C .$$ $$\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}dx = \int \frac{1}{2a}(\frac{1}{a+x}-\frac{1}{x-a})dx = \frac{1}{2a}ln |\frac{a+x}{a-x}| + C .$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} }} = ln|x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } | +C.$$

# 3. 不定积分法

# (1). 第一换元法(凑微分)

定理 设$f(u)$具有原函数$F(u)$,$u=\varphi(x)$可导,则有$$\int f[\varphi(x)]\varphi^{'}(x)dx = \int f[\varphi(x)]d\varphi(x) = \int f(u)du = F(u)+C = F[\varphi(x)]+C.$$

# (2). 第二换元法

定理 设函数$x=\varphi (t)$具有连续导数,且$\varphi^{'}(t) \neq 0$,又设$f[\varphi(t)]\varphi^{'}(t)$具有原函数$\phi(t)$.则
  $$\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)]\varphi^{'}(t)dt = \phi(t)+C = \phi[\varphi^{-1}(x)]+C$$

# (3). 分部积分法

定理 设函数$u=u(x)$,$v=v(x)$具有连续导数,则  $$\int udv = uv - \int vdu. $$


# 十一. 定积分

# 1. 定积分的定义

定义式 $\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$,
特别当$f(x)$在$[a,b]$上可积时有$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f[a+\frac{i}{n}(b-a)]$
定理1 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,则$f(x)$在$[a,b]$上可积
定理2 设$f(x)$在$[a,b]$上有界,且只有有限个间断点,则$f(x)$在$[a,b]$上可积
规定 $\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$,$\int_{b}^{a}f(x)dx = -\int_{a}^{b}f(x)dx $

# 2. 定积分的性质

设$f(x)$,$g(x)$在区间$[a,b]$上可积,则$$①\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx;$$ ②若$f(x)$在最大的区间上可积,则 $$\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx;$$ ③若在区间$[a,b]$上$f(x) \leqslant g(x)$,则 $$\int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx;$$ $$④|\int_{a}^{b}f(x)dx| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|dx (a < b);$$ ⑤如果$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值与最小值分别为M,m则 $$m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant M(b-a).$$ 此性质常称为定积分的估值定理.

# 3. 重要定理、公式、关系

牛顿——莱布尼兹公式 如果$f(x)$连续,且$\int f(x)dx = F(x) + C$,则有$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$成立.
定积分中值定理 如果$f(x)$在$[a,b]$连续,则至少存在一点$\xi \in [a,b]$,使得$\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a)$成立.
注:点$\xi$也一定能在$(a,b)$内部取得.
称$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$为函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的平均值.
变上限定积分及其导数 如果$f(x)$连续,则$\int_{a}^{x}f(t)dt (a \leqslant x \leqslant b)$是上限x的可导函数,且有$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)$;若$\varphi(x),\psi(x)$可导,则$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt]= f(\varphi(x))\varphi^{'}(x) - f(\psi(x))\psi^{'}(x)$.
④设$f(x)$在$[-a,a]$上连续,则$$\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{0}^{a}[f(x)+f(-x)]dx = \begin{cases} & 0 \text{ f(x) 是奇函数} \\ & 2\int_{0}^{a}f(x)dx \text{ f(x) 是偶函数} \end{cases}$$ ⑤若$f(x)$在$[0,1]$上连续,则
  $\int_{0}^{\pi\2}f(sinx)dx = \int_{0}^{\pi\2}f(cosx)dx$
  $\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx$
⑥设$f(x)$是以$T$为周期的连续函数,则$\int_{a}^{a+T}f(x)dx = \int_{0}^{T}f(x)dx$,$\int_{a}^{a+nT}f(x)dx = n \int_{0}^{T}f(x)dx$ $$⑦I_{n}=\int_{0}^{\pi\2}sin^{n}xdx = \int_{0}^{\pi\2}cos^{n}xdx = \frac{n-1}{n}I_{n-2} = \begin{cases} & \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} ... \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ n为偶数 } \\ & \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} ... \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \text{ n为奇数} \end{cases}$$

# 4. 换元积分公式与分部积分公式

①设$f(x)$在$[a,b]$上连续,$x=\varphi(t)$单调可导,$\varphi^{'}(t) \neq 0$,则
   $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^{'}(t)dt$,
其中$\alpha = \varphi^{-1}(a)$,$\beta = \varphi^{-1}(b)$,$\varphi^{-1}(t)$为$\varphi(t)$的反函数.
②设$u=u(x),v=v(x)$具有连续导数,则$\int_{a}^{b}u(x)v^{'}(x)dx = [ u(x)v(x)]|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}v(x)u^{'}(x)dx$.

# 5. 广义积分的概念与计算

# (1). 无穷限的广义积分

设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续,且$\lim\limits_{b \to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$存在,则广义积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$收敛,且$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \lim\limits_{b \to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$.
设$f(x)$在$(-\infty,b]$上连续,且$\lim\limits_{a \to -\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$存在,则广义积分$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$收敛,且$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{a \to -\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$.
设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续,且$\int_{-\infty}^{0}f(x)dx$与$\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$收敛,则广义积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$收敛,且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{+\infty}f(x)dx$.

# (2). 无界函数的广义积分

设$f(x)$在$(a,b]$上连续,且在a的右邻域内无界,$\lim\limits_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx$存在,则广义积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$收敛,且$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx$.
设$f(x)$在$[a,b)$上连续,且在b的左邻域内无界,$\lim\limits_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{a }^{b -\varepsilon}f(x)dx$存在,则广义积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$收敛,且$\int_{a}^{b}f(x)dx= \lim\limits_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{a }^{b -\varepsilon}f(x)dx$.
设$f(x)$在$[a,b]$上除点$c \in (a,b)$外连续,而在点c的邻域内无界,且广义积分$\int_{a}^{c}f(x)dx$和$\int_{c}^{b}f(x)dx$收敛,则广义积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$收敛,且$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$.

# (3). $\Gamma$函数

$\Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx (s>0)$
$lim_{s \to 0^{+}}\Gamma(s) = +\infty$,$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$,$\Gamma(1) = 1$, $$\Gamma(\frac{1}{2}) = \int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^{-\frac{1}{2}}dx \xrightarrow[x=t^{2}]{ } 2\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt = \sqrt{\pi},$$ $\Gamma(n+1) = n!$(n为正整数).

# 6. 定积分的几何应用

# (1). 平面图形的面积

①设平面图形D由曲线$y=f(x)$,$y=g(x)$及直线$x=a$,$x=b$所围成,则平面图形D的面积$S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$.
②设平面图形D的边界为曲线$\begin{cases} & x = x(t)\\ & y = y(t) \end{cases}$,$(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$,其中$x(t)$,$y(t)$连续可导,$y(t) \geqslant 0$,$x(t)$严格单调,则平面图形D的面积$S=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x^{'}(t)dt$.当$x(t) \geqslant 0$,$y(t)$严格单调时,$S=\int_{\alpha}^{\beta}x(t)y^{‘}(t)dt$.
③设平面图形D的边界为曲线$r=r(\theta)$及射线$\theta = \alpha$,$\theta = \beta$($\alpha < \beta$),则平面图形D的面积$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}(\theta)d\theta$.

# (2). 平面曲线的弧长

①曲线由参数方程$\begin{cases} & x = \varphi(t)\\ & y = \psi(t) \end{cases}$,($\alpha \leqslant t \leqslant \beta$)给出,弧长公式为$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt$.
②曲线由直角坐标方程$y=f(x)(\alpha \leqslant x \leqslant b)$给出,弧长公式为$s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+y^{'2}}dx$.
③曲线由极坐标方程$\rho = \varrho (\theta)(\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta )$给出,弧长公式为$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{'2}(\theta)+\rho^{2}(\theta)}d\theta$.

# (3). 旋转体的体积

①曲边梯形$0 \leqslant y \leqslant f(x)(a \leqslant x \leqslant b)$绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积$V_{x} = \pi \int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$;当$a \geqslant 0$时,该曲边梯形绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积$V_{y}=2\pi \int_{a}^{b}xf(x)dx$.
②曲线$r = r(\theta)(0 \leqslant \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \leqslant \pi)$所围平面图形绕极轴旋转一周所生成的旋转体的体积$V=\frac{2}{3}\pi\int_{\alpha}^{\beta}r^{3}(\theta)sin\theta d\theta$.

# (4). 旋转体的侧面积

①由$y=f(x)(f(x) \geqslant 0),x=a,x=b(a < b)$,x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为$S=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx$.
②若围成曲边梯形的曲线由参数方程$x=x(t),y=y(t),t\in [\alpha,\beta]$给出,且$y(t) \geqslant 0$,那么旋转体的侧面积为$S= 2\pi \int_{\alpha}^{\beta}y(t)\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt$.

# (5). 平行截面面积已知的立体体积

平面$x=a,y=b$之间的立体,若过点x且垂直于x轴的截面面积为$A(x)$,则该立体的体积为$V= \int_{a}^{b} A(x)dx$.